2.1.5 Моделирование орбитального движения спутника в окрестности первой точки либрации L1 системы Солнце-Земля

В данной работе движение космического аппарата, находящегося на орбите в окрестности точки либрации L1 системы Солнце-Земля, будет рассматриваться во вращающейся системе координат, иллюстрация которой приведена на рисунке 6. В выбранной системе отсчёта начало координат находится в точке либрации L1, ось OX проходит от Солнца к Земле через центры массивных тел, ось OZ направлена к северному полюсу эклиптики, третья ось - ось OY, - ортогональна осям OX и OZ, дополняя систему до правой тройки.

Рис. 6. Используемая в работе вращающаяся система координат с центром в первой точке либрации L1 системы Солнце-Земля

Уравнения движения космического аппарата в задаче трёх тел выглядят следующим образом:

(25)

где с - это параметр, который зависит от масс Солнца и Земли, , и - это возмущающие ускорения, зависящие от x, y и z и от эксцентриситета орбиты планеты - Земли. В окрестности точки L1 уравнения примут вид:

(26)

Решение системы (26):

(27)

где -фаза колебаний по оси OZ, - фаза колебаний в плоскости XOY,, параметры, которые, как и фазы , зависят от начальных условий. Остальные параметры можно посчитать по формулам:

, ,

Из уравнений (27) видно, что и зависят от трёх компонент:

- ограниченная периодическая компонента;

- возрастающая по модулю, неустойчивая компонента;

- убывающая по модулю к нулю, устойчивая компонента.

Для отыскания ограниченной орбиты и соответствующего ей начального вектора состояния нужно устранить неустойчивую компоненту - необходимо приравнять параметр в неустойчивой компоненте к 0.

Решения, которые получаются при приравнивании к нулю, образуют устойчивые многообразия (с течением времени космический аппарат не покинет окрестности точки либрации L1). Если же приравнять к нулю коэффициент , то получим неустойчивое многообразие, включающее решения, уводящие космический аппарат с течением времени из окрестности L1.