Алгоритм расчета траектории перелета на ограниченную орбиту с заданными характеристиками

дипломная работа

3.1 Типы ограниченных орбит вокруг точки L2 системы Солнце-Земля

Анализируя решение (2.4) линеаризованной системы (2.3), можно заключить, что амплитуды орбиты по осям X и Y зависят друг от друга линейно, а амплитуда по Z является независимой, при этом колебания по X и по Y происходят с одной частотой, а колебания по Z - с другой. Однако, это решение справедливо лишь в малой окрестности точки либрации для ограниченной задачи трех тел. В реальности, амплитуды и частоты колебаний координат КА вокруг точки связаны между собой сложным нелинейным законом [15].

Различные комбинации амплитуд и частот колебаний КА вокруг точки либрации приводят к орбитам различных типов. Поскольку амплитуды и частоты орбиты определяются начальными условиями, необходимо уметь сопоставить исходный вектор состояния КА с типом и характеристиками орбиты, которую он порождает. С целью исследования возможных комбинаций амплитуд ограниченных орбит вокруг точки либрации L2 и возможных типов таких орбит, в работе осуществлен расчет траекторий, начальный вектор состояния которых обладает следующими характеристиками: , . Произведен анализ зависимости типа орбиты и комбинаций ее амплитуд от начальных координат аппарата и .

Ограниченные орбиты, периоды которых по осям X, Y и Z равны времени одного оборота вокруг точки либрации, называются гало-орбитами. При движении по такой орбите аппарат описывает замкнутую кривую, симметричную относительно плоскости XZ. Амплитуды движения в положительном (северном) и отрицательном (южном) направлении оси Z не равны друг другу [16]. В зависимости от того, в каком направлении отклонение от эклиптики является наибольшим, орбита называется северной или южной. При этом для каждой северной гало-орбиты существует симметричная ей южная. На рис. 3.1 представлены проекции северной и южной гало-орбит на плоскости XZ, YZ и XY.

ы

Рис. 3.1 Примеры северной (красный цвет) и южной (синий цвет) гало-орбит

Гало-орбиты возникают лишь при определенных начальных условиях, отклонение от которых приводит к рассогласованию колебаний по различным осям. Другими словами каждый следующий виток вокруг точки либрации изменяется относительно предыдущего. Это приводит к тому, что амплитуды некоего N-ого витка траектории могут существенно отличаться от амплитуд первого витка. В результате, орбита аппарата заметает некую фигуру, габариты которой ограничивают амплитуды любого произвольного витка траектории: ; ; .

В зависимости от характера рассогласования колебаний КА вокруг точки либрации по различным осям, будем разделять орбиты на два типа: квазигало-орбиты и орбиты Лиссажу [17] [18].

Рис. 3.2 Проекции квазигало-орбиты на плоскости XY, XZ, YZ.

Квазигало-орбиты обладают следующими признаками:

· Фигура, заметаемая орбитой несимметрична относительно плоскости эклиптики () [19] [20].

· Проекция траектории на плоскость YZ никогда не пересекает некоторой окрестности точки L2, при этом если то ; если то [21] [22].

Значения , и характеризуют разброс проекции орбиты на плоскость XZ вокруг некоторой средней линии. Данные характеристики крайне важны на этапе выбора орбиты вокруг точки L2 системы Солнце-Земля, поскольку обуславливают возможность попадания КА в полутень Земли. Пример квазигало-орбиты с отмеченными характеристиками , , , , , , и приведен на Рис.3.2.

Пример орбиты Лиссажу приведен на Рис.3.3 Из рисунка видно, в отличие от квазигало-орбит, габариты орбит Лиссажу симметричны относительно эклиптики и относительно плоскости XZ. При этом амплитуды по X в положительном и отрицательном направлениях не совпадают. Таким образом, для орбит Лиссажу справедливо следующее: , и .

Начальные условия, тип и характеристики орбиты будут зависеть от исходных координат и Соответствующих для КА, находящемуся в плоскости XZ и движущемуся ортогонально ей, н. Рассчитанные карты характеристик , , и , описывающие их зависимость от начальных координат КА и приведены на Рис.3.4 На Рис.3.5 приведены карты характеристик , , и .

Для оценки значений характеристик орбит проводилось численное интегрирование траектории до достижения 30 полных оборотов вокруг точки либрации с устранением неустойчивой компоненты движения путем коррекции скорости аппарата на каждом обороте. Подбор начальной скорости и расчет значений устраняющих неустойчивую компоненту поправок осуществлялся с помощью инструментария и алгоритмов, приведенных в данной работе.

Рис. 3.3 Проекции орбиты Лиссажу на плоскости XY, XZ, YZ.

На рис.3.4 хорошо виден разрыв функции Az+ (, ), который связан с переходом от квазигало-орбит к орбитам Лиссажу. Механизм этого перехода проиллюстрирован на рис. 3.6. На рисунке показаны орбиты, отвечающие различным начальным положениям аппарата, лежащим на прямой км, при этом начальная координата изменяется от значения, соответствующего гало-орбите, лежащего слева от разрыва Az+ (, ) до значений, лежащих справа от него.

Рис. 3.4 Карты характеристик Ax-, Ax+, Az-, Az+

Можно заметить, что при увеличении координаты увеличиваются разбросы орбиты ?Az+ и ?Az-, при этом орбита остается асимметричной относительно эклиптики. Разрыв функции Az+ (, ) отвечает точкам, в которых значения ?Az+ и ?Az - достигают соответствующих значений Az+ и Az-. Комбинации (, ), лежащие справа от разрыва приводят к возникновению орбит Лиссажу, а слева - к возникновению квазигало-орбит.

Рис. 3.5 Карты характеристик Ay, ?Ay, ?Az-, ?Az+

Анализируя рис. 3.5 можно видеть, что существуют множество комбинаций , соответствующее "оврагам" приведенных на нем функций функции , , и . Это множество отвечает периодическим решениям задачи трех тел: гало-орбитам и вертикальным орбитам Ляпунова.

Рис. 3.6 Механизм перехода от квазигало-орбит к орбитам Лиссажу

Значения начальных координат КА, приводящих к гало-орбитам, приведены в табл. 3.1, где приведены начальные значения (X0, Z0) для гало-орбит, соответствующие им значения начальной скорости Vy0, амплитуда по Y - Ay, амплитуды Az-, Ax+ (для гало-орбит Az+ = Z0, Ax - = - X0). Представленные в таблице значения скоростей даны для оценки порядка величин.

Таблица 3.1 Начальные условия, приводящие к гало-орбитам

Z0 = Az+

X0 = - Ax-

Vy0

Az-

Ay

Ax+

700000

-750584

0.590682

-1161363

1123996

27247.93

650000

-644194

0.531138

-1019016

1055838

69348.51

600000

-566256

0.486786

-902519.1

998711.8

97547.11

550000

-504361

0.450970

-801092.7

948178.6

118026.4

500000

-453098

0.420705

-709166.7

902584.7

133514.3

450000

-410038

0.394814

-624317.6

861478.1

145426.4

400000

-373454

0.372361

-544603.3

824361.1

154621.5

350000

-342355

0.352876

-468881.8

791056.5

161665.1

300000

-316304

0.336297

-396527.0

761937.2

167201.8

250000

-294868

0.322479

-326850.3

737146.2

171903.2

200000

-277549

0.311127

-259115.5

716438.1

174948.9

150000

-264191

0.302247

-192948.4

700020.8

176782.2

100000

-254875

0.296057

-128035.5

688465.3

178864.3

50000

-249171

0.292184

-63817.81

681167.7

179489.0

Делись добром ;)