4. Связь между координатами точки места наблюдения и координатами светил на сфере
Выражение (11) определяет проекции вектора S на оси базиса i0, j0, k0 через горизонтальные координаты светила углы h и АЮ.
Воспользовавшись рис.10, выразим эти же проекции через экваториальные координаты и t:
S = i0 (cos sin sin cos д cos ) + j0 (sin sin + cos cos cos t) k0 cos cos t. (18)
Приравнивая члены при соответствующих ортах в правых частях равенств (11) и (18), получаем следующую группу равенств:
cos h cos АЮ = sin cos cos cos t cos cos ;
sin h = sin sin + cos cos cos t; (19)
cos h sin AЮ = cos cos t,
sin h sin sin + cos cos cos t;
.
Учитывая, что
t = S = Sr + В ,
выражения (19) и (20) можно представить в виде
sin h = sin sin + cos cos cos (S ); (21)
.
Полученные равенства устанавливают связь между координатами светила на небесной сфере и координатами точки места наблюдателя. Совокупность выражений (21) можно рассматривать как систему трансцендентных уравнений относительно переменных и S , если полагать, что горизонтальные координаты светила h и АЮ измерены, а его экваториальные координаты и известны. Координаты точки места и S могут быть определены путем решения системы - уравнений, образуемой третьим выражением из (21) и любым из трех остальных. При этом, если в качестве второго уравнения используется последнее выражение из (21), то, как нетрудно видеть, система уравнений будет иметь точки разрыва при АЮ = /2 и = /2.
Определив из (21) угол S, можно найти долготу точки места наблюдения
В = S Sr . (22)
Для определения Sr достаточно иметь бортовой звездный хронометр.
Изложенный подход к определению координат точки места наблюдения используется при астрономических определениях, а в навигации он получил название метод определения координат по одному светилу.
Если полагать, что осуществлено измерение высот двух звезд, то, воспользовавшись третьим равенством из (21), можем записать:
sin h1 = sin 1 sin + cos 1 cos cos (S 1);
sin h2 = sin 2 sin + cos 2 cos cos (S 2), (23)
где 1,2 и 1,2 склонения и прямые восхождения звезд.
Выражения (23) также образуют систему трансцендентных уравнений относительно переменных и S.
Решая систему уравнений (23) в бортовом вычислителе, можно определить и S и по (22) найти долготу точки места.
В навигации такой подход к определению координат называют методом высот двух светил.
Соотношения вида (21) позволяют решать и обратную задачу: по известным координатам точки места вычислить координаты светил. Такого рода задачи могут возникать при наведении телескопов на определенный участок неба в процессе поиска светил. Кроме того, по сути, аналогичная задача должна решаться при астрономическом определении курса летательного аппарата, для чего нужно знать угол азимута светила. Если положить, что путем решения системы уравнений (23) определены координаты и В, или эти координаты получены от других устройств, имеющихся на борту ЛА, то, используя первую тройку выражений из (21), можно вычислить азимут светила, причем по сочетанию знаков функций sin AЮ и cos AЮ определить принадлежность угла азимута к определенной четверти.
Отметим, что выражения вида (21) могут быть получены и иным путем, который обычно используется в сферической астрономии.
Рассмотрим треугольник на сфере с вершинами в точках РC, S и Z (рис. 11), который в астрономии называют параллактическим треугольником. Стороны этого треугольника можно определить так:
SPC = 90° ; SZ = 90° -- h; ZPC = 90° .
Углы при вершинах Z и Рс соответственно будут:
PCZS = 180° AЮ; SPC = 180° - t.
Угол при вершине S обычно обозначают q и называют параллактическим углом.
Поскольку определены пять элементов параллактического треугольника, то, воспользовавшись основными теоремами сферической тригонометрии, можно получить соотношения, связывающие между собой элементы треугольника, в том числе соотношения вида (21).